Atom & Nucleus

                                              ฟิสิกส์อะตอม-นิวเคลียส

Atomic mass Unit

ในปี ค.ศ.1960 บรรดานักวิทยาศาสตร์ตกลงวางมาตรฐานสากลเพื่อใช้วัดมวลของนิวไคลด์(nucide) โดยกำหนดน้ำหนักอะตอมของ carbon อตอมที่เป็นกลางที่พบในธรรมชาติเป็นส่วนมาก (98.89%) ให้มีค่า = 12 พอดี และให้ 1/12 ของมวล C¹²     atom นี้เรียกว่า 1 Unified Atomic Mass Unit (ใช้อักษรย่อ หรือ amu)

     1 amu       =   1.66042 x 10^-27 kg        =     1.49231 x 10^-10    joul

       ( จากหนังสือ ฟิสิกส์ยุคใหม่ เบื้องต้น   โดย เย็นใจ เลาหวณิช   หน้า 216 พิมพ์ครั้งที่ 2   บริษัทประชาชน จำกัด 35 ซอยพิพัฒน์ ถนนสีลม อ.บางรัก กรุงเทพ )

องค์ประกอบของนิวเคลียส

นิวเคลียสทั้งหลายประกอบด้วยองค์ประกอบเป็นอนุภาค 2 ชนิด คือ โปรตอน และ นิวตรอน ต่อไปนี้เป็นรายละเอียดขององค์ประกอบทั้งสองชนิดนี้

1. ประจุ โปรตอน คือ นิวเคลียสของไฮโดรเจนอตอม ₁H¹ ซึ่งเป็นไอโซโทปที่เบาที่สุดของไฮโดรเจน มีประจุ + e ( e = ขนาดของประจุของ 1 อิเลคตรอน )

นิวตรอนเป็นอนุภาคที่เป็นกลางทางไฟฟ้า คื มีประจุ = 0 พบเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1932 โดยนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ ชื่อ James Chadwick จากการทดลองยิงอนุภาคแอลฟาไปยังโลหะเบอริลเลียม ( Be )

2.  มวล (rest mass)

โปรตอนมีมวล = 1.67252 x 10^-27     kg

= 1.007276               amu

=   938.3        Mev = 1.503 x 10^-10 joul

นิวตอนมีมวล  = 1.67482 x 10^-27     kg

= 1.008665               amu

=   939.6              Mev = 1.505 x 10^-10 joul

         โดยประมาณจะเห็นว่า โปรตอนและนิวตรอนมีมวลเท่ากัน » 1000 Mev หรือ 1 Bev ( Billion electronvolt)   ( การวัดมวลในวิชาฟิสิกส์นิยมวัดเป็น amu หรือ Mev มากกว่ากิโลกรัมหรือจูล)   แต่ถ้าพิจารณาโดยละเอียดจะเห็นว่าโปรตอนมีมวล น้อยกว่า นิวตรอนประมาณ 0.1 %

( จากหนังสือ ฟิสิกส์ยุคใหม่ เบื้องต้น   โดย เย็นใจ เลาหวณิช   หน้า 218 – 219 พิมพ์ครั้งที่ 2   บริษัทประชาชน จำกัด 35 ซอยพิพัฒน์ ถนนสีลม อ.บางรัก กรุงเทพ )

ขนาดของนิวเคลียส

จากการทดลองเรื่อง a -particle scattering ของ Rutherford พบว่าอนุภาคแอลฟาเข้าไปใกล้นิวเคลียสของทองคำได้มากที่สุดในระยะทางประมาณ 2 x 10^-14 เมตร   อนุภาคแอลฟาเข้าไปใกล้กว่านี้มิได้แล้ว     เพราะมีแรงผลัก ( Coulomb force ) ปะทะเอาไว้   ดังนั้น   การใช้อนุภาคที่มีประจุยิงไปยังนิวเคลียสไม่อาจวัดขนาดของนิวเคลียสได้ เพราะอนุภาคไม่อาจเข้าไป “ ถึง “ นิวเคลียสได้นั่นเอง ดังนั้นการวัดรัศมีของนิวเคลียสจึงจำเป็นต้องยิงนิวเคลียสด้วยอนุภาคที่ เป็นกลาง ทางไฟฟ้า คือ นิวตรอน  เพื่อว่าอนุภาคนี้จะฝ่าแรงคูลอมบ์เข้าไปจนปะทะกับ “แกน “ ของนิวเคลียสได้

นักวิทยาศาสตร์คิดว่า นิวเคลียสมีลักษณะเป็นทรงกลม เพราะเหตุผลต่อไปนี้

1. นิวคลีออนที่เป็นองค์ประกอบของนิวเคลียสอยู่รวมกันในบริเวณที่มีขนาดเล็กมาก   และจากการทดลองพบว่า แรงยึดกันระหว่างนิวคลีออนเป็นแรงระยะสั้น (short range force )   ( Coulomb และ gravitational force เป็นแรงระยะยาว )
2. ทดลองพบว่าการสลายนิวเคลียสออกเป็นองค์ประกอบย่อย คือ โปรตอน และ นิวตรอน จะต้องใช้พลังงานสูงมาก จึงแสดงว่า นิวคลีออนยึดกันแน่นด้วยแรงอันมหาศาล
3. ถ้ากำหนดปริมาตรมาให้ ปรากฏว่ารูปทรงกลมเป็นรูปที่มีพื้นที่ผิว น้อยที่สุด และพื้นที่ผิวน้อยที่สุดนี้ พอดีเหมาะสมกับสภาวะการยึดเหนี่ยวกันด้วยแรงระยะสั้น

ทดลองพบว่าถ้านิวเคลียสต่าง ๆ มีลักษระเป็นรูปทรงกลม รัศมี   R จะวัดได้ว่า

R = R₀ A^1/3

R₀   »           1.2 x 10^-15   m

A     =         mass number

หมายเหตุ       1. R₀ แม้ในปัจจุบันนี้ก็ยังคงเป็นค่าที่วัดไม่ได้แน่นอน แต่พอจะกล่าวได้ว่า 1.1 x 10^-15 ³ R₀ ³   1.5 x 10^-15 เมตร

2. จากค่า R ที่ได้ สามารถคำนวณ “ความหนาแน่น “ ของนิวเคลียสได้ว่ามีค่าประมาณ 2 x 10¹⁷ kg/m³ หรือประมาณ 1000 ล้านตันต่อลูกบาศก์นิ้ว     ซึ่งเป็นความหนาแน่นของดาวฤกษ์ประเภท “ white dwarf “

Nuclear Stability and Radioactivity

              อาจแบ่งนิวไคลด์ออกไปได้เป็น 3 ประเภท คือ

1. Stabilty Nuclides คือ บรรดานิวไคลด์ที่พบในธรรมชาติและมีสภาพเสถียร ไม่มีการสลายตัวด้วยตนเอง เช่น ₂He⁴   ,   ₈O¹⁶ , ₂₀Ca⁴⁰ เป็นต้น
2. Natu rally Radioactive Nuclides คือ บรรดานิวไคลด์ที่มีในธรรมชาติแต่มีสภาพ “ อเสถียร “ (unstable )  จะสลายตัวไปเป็นนิวไคลด์ชนิดอื่นและแผ่รังสีออกมา เช่น ₁₉K⁴⁰ ,   ₅₈Ce¹⁴² , ₉₀^Th232 , ₉₂U²³⁵ ,   ₉₂U²³⁸   เป็นต้น
3. Artificailly – produce Radioactive Nuclides คือ บรรดา radioactive nuclides ที่ผลิตขึ้นโดยฝีมือมนุษย์ หรือ เกืดจากปฎิกิริยานิวเคลียร์อื่น ๆ ที่มิใช่การสลายตัวตามธรรมชาติ ( ข้อ 2. ) เช่น ₁₄S²⁸ , ₁₃Al²⁸ ,   ₉₂U²³⁹   เป็นต้น

นิวไคลด์ในข้อ 2 และ 3 เรียกรวมกันว่า radioactive nuclides ( นิวไคลด์ กัมมันตภาพรังสี ) และการเปลี่ยนแปลงหรือสลายตัวและแผ่รังสีออกมานี้เรียกว่า radioactivity หรือ “ กัมมันตภาพรังสี “ ซึ่งนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสชื่อ A. Henry Becquerel (1852 – 1908 ) ค้นพบโดยบังเอิญในปื ค.ศ. 1896  จากการแผ่กัมมันตภาพรังสีของแร่ยูเรเนียมชนิดหนึ่งเรียกว่า “ pitchblend ” จากโบฮีเมีย การค้นพบครั้งนี้กระตุ้นให้นักวิทยาศาสตร์ฝรั่งเศสสามีภรรยา คือ Pierre และ Marrie Curie ค้นพบธาตุที่มีกัมมันตภาพรังสีสูงกว่ายูเรเนียม   ธาตุนั้น คือ radium (Ra ) จากผลงานเรื่องกัมมันตภาพรังสีนี้ นักวิทยาศาสตร์ทั้งสามจึงได้รับรางวัลโนเบลร่วมกันในปี ค.ศ.1903 ทางสาขาฟิสิกส์ (มาดามคิวรียังได้รับรางวัลโนเบลทางเคมีอีกครั้งหนึ่งในปี ค.ศ. 1911)   ต่อจากนั้นนักวิทยาศาสตร์ผู้อื่นได้ค้นพบธาตุกัมมันตภาพรังสีเพิ่มขึ้น ตลอดมาจนกระทั่งในปัจจุบัน

รัทเธอร์ฟอร์ดและคณะเป็นผู้ศึกษากัมมันตภาพรังสีอย่างละเอียดเป็นครั้งแรก รังสีที่แผ่ออกมาจากสารกัมมันตภาพรังสีมี 3 ชนิด คือ รังสีแอลฟา ( ∝ – ray ) , รังสีเบตา   (   β – ray )   และรังสีแกมมา (γ – ray )

Principle of Duality   ใช้ได้กับนิวคลีออน เช่นเดียวกับอิเลคตรอน หรือ โฟตอน   ดังนั้น รังสีที่ออกมาจากสารกัมมันตภาพรังสีก็คืออนุภาคด้วย เพราะมีสมบัติของอนุภาค   แต่ในขณะเดียวกันก็มีสมบัติของคลื่นด้วย เช่น ∝ – ray อาจเรียกว่า ∝ – particle ก็ได้   β – ray =  β – particle , γ – ray =  γ – particle   การสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสีเกิดเป็นรังสีทั้ง 3 ชนิดนี้ บางครั้งก็เรียกว่า  ” decay “   หรือ “ emission “   คือ

∝ – radiation =  ∝ – decay   =   ∝ – emission   = ∝- disintegration

β – radiation = β – decay  =   β – emission   = β – desintegration

γ- radiation =  γ – decay   =   γ – emission   =γ – desintegration

Alpha Particle คือ นิวเคลียสของ   helium ใช้สัญญลักษณ์ ₂He⁴ หรือ a ถูกปลดปล่อยออกมาจากนิวเคลียสด้วยพลังงานต่าง ๆ กัน มีประจุ +2e มีมวลเท่ากับนิวเคลียสของฮีเลียม ตามปกติถูกปลดปล่อยออกมาจากนิวเคลียสขนาดใหญ่ เช่น Ra เมื่อนิวเคลียสปล่อย a – particle แล้วจะมีประจุลดลง 2 หน่วย และมีมวลลดลง 4 หน่วย จึงกลายเป็นนิวเคลียสของธาตุชนิดใหม่ เช่น

₈₈Ra²²⁶     ——————> ₈₆Rn²²²   +   ₂He⁴   +   Q

radium    กลายเป็น radon มวลเดิมของ Ra = 226.0312 amu   กลายเป็น Rn = 222.0233 amu   มวลของ ∝ – particle = 4.0026 amu ดังนั้นมวลหายไปเท่ากับพลังงาน Q = c²Dm = ( 0.0053 ) x 931 = 4.9 » 5 Mev   ส่วนใหญ่กลายเป็นพลังงานจลน์ของ ∝ – particle ที่ออกมาจากนิวเคลียส

สมการทั่วไปของ ∝ – decay เป็นดังนี้ คือ ถ้า _ZP^A เป็นนิวเคลียสเดิม เรียกว่า parent nucleus มีประจุ +Ze และ mass number A      มวล M_p กลายเป็น daughter nucleus _Z-2D^A-4   มีประจุ + ( Z – 2 )e และมวล M_D น้อยลง 4 หน่วย    ด้วยการปลดปล่อย ∝ – particle ดังนั้น

_ZP^A   —————–> _{Z – 2}D^A-4     +   ₂He⁴   +   Q

Q กลายเป็นพลังงานจลน์ของ D กับ   ∝       แต่ส่วนใหญ่อนุภาคแอลฟาจะรับไว้เพราะมีมวลน้อยกว่า daughter nucleus   มาก     คำนวณ Q ได้จากสมการ

Q   =     K_D   +       K a       =         (   M_p      +     M_D   –   M a ) c²

แม้ว่าอนุภาคแอลฟาจะมีพลังงานหลาย Mev   แต่โดยเหตุที่มีมวลมากจึงเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่ำ ดังนั้นจึงมีอำนาจทลุทะลวงผ่านสสารไม่มาก     อนุภาคแอลฟาจะถูกอากาศหนาเพียงไม่กี่เซนติเมตรดูดไว้ได้   ( คือจะเสียพลังงานไปจนหมดสิ้นเมื่อผ่านอากาศ ) หรือแผ่นโลหะบาง ๆ ก็สามารถใช้ป้องกันรังสีนี้ได้   เมื่อกระทบกับฟิล์มจะมีปฏิกิริยาเช่นเดียวกับโฟตอน คือ เกิดรอยบนฟิล์มถ่ายรูป

 Beta Particles มี 2 ชนิด   คือ อิเลคตรอน และโพซิตรอน ซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูงมากใกล้ความเร็วแสง อิเลคตรอนและโพซิตรอนมี rest mass เท่ากัน แต่ประจุของโพซิตรอนเป็น + เท่ากับโปรตอน   เนื่องจากอนุภาคทั้งสองชนิดนี้มีมวลน้อยมาก   ดังนั้น เมื่อหลุดออกมาจากนิวเคลียสแล้วไม่ถือว่าทำให้ mass number A   ของนิวเคลียสเปลี่ยนแปลงแต่ประการใด ส่วนที่เปลี่ยนแปลง คือ ประจุ   ถ้าปลดปล่อยอิเลคตรอน ( หรือ negative beta decay   =   β^– =   _-1e⁰ ) ประจุของ parent nucleus จะลดลง   = – e   ถ้าปลดปล่อยโพซิตรอน ( หรือ positive beta decay = β⁺ = ₊₁e⁰ ) ประจุของ parent nucleus จะลดลง = +e

หลัก Uncertainly Principle และทฤษฎีอะตอม แสดงว่า อิเลคตรอน ( หรือ โพซิตรอน ) จะเข้าไปอยู่ในนิวเคลียสไม่ได้ ดังนั้น   β   – decay จึงไม่น่าจะเกิดได้ เพราะนิวเคลียสไม่มีอิเลคตรอน ( หรือโพซิตรอน ) ที่จะปลดปล่อยออกมาภายนอกได้ แต่จากการศึกษาเรื่องนี้โดยละเอียดพบว่ากระบวนการเกิด β   – decay เป็นกระบวนการชนิดใหม่ ที่แตกต่างไปจากเรื่องราวต่าง ๆ ที่ได้กล่าวมาแล้วทั้งหมด   กล่าวคือ β   – decay เกิดจากการเปลี่ยนนิวตรอนเป็นโปรตอนหรือโปรตอนเป็นนิวตรอนภายในนิวเคลียส โดยการปลดปล่อยอนุภาค 2 ชนิด ทิ้งไป กระบวนการนี้มี 2 ประเภท คือ

              (1 ) Negative Beta decay  เกิดจากการที่นิวตรอน 1 อนุภาค เปลี่ยนเป็นโปรตอน โดยปลดปล่อย อิเลคตรอน กับ antinutrino   ( n )

                  n   ——————>     p         +     e^-1         +       n             +   Q

neutron     ——>       proton +   electron + antineutrino + energy

antineutrino เป็นอนุภาคชนิดใหม่ มีปฎิกิริยากับสสารต่าง ๆ น้อยมาก จึงพบได้ยากมีมวล = 0 ไม่มีประจุ มีความเร็วเท่ากับความเร็วแสงเช่นเดียวกับโฟตอน …….

พลังงานที่เกิดจากปฏิกิริยานี้คือ Q เป็นพลังงานจลน์ของ β^– และ n   โดยแบ่งกันตามอัตราส่วนที่ไม่แน่นอน ดังนั้น β^–  -particle จาก β^–   – decay จึงอาจมีพลังงานใด ๆ ก็ได้ ซึ่งต่างกับกรณี ∝ – decay ที่อนุภาคแอลฟามีพลังงานได้เพียงค่าเดียว   ดังนั้นถ้า _ZP^A เป็น parent nucleus    เมื่อเกิด β^–   – decay   แล้วประจุ + จะเพิ่มขึ้น 1 หน่วยประจุอิเลคตรอน กลายเป็น _{Z +1}D^A = daughter nucleus ดังสมการ

_ZP^A   —————–> _{Z +1}D^A    +   e^–         +         n

ตัวอย่าง เช่น    ₆C¹⁴ —————–>    ₇N¹⁴   +   e^–         +         n

จะเห็นได้ว่า นิวเคลียสที่เกิด b^–   – decay เป็นนิวเคลียสที่มีนิวตรอนมากเกินไป   จำเป็นต้องลดจำนวนลงและเพิ่มจำนวนโปรตอนให้มากขึ้นเพื่อที่จะได้กลายเป็น stable nucleus   จากตัวอย่างจะเห็นว่า ₇N¹⁴   เป็น stable nuclide ส่วน ₆C¹⁴ มีนิวตรอนมากเกินไปจึงไม่ stable   ₆C¹⁴ มีบทบาทสำคัญในกระบวนการหาอายุวัตถุโบราณ ….

( 2 ) Positive Beta decay เป็นกระบวนการตรงกันข้ามกับ (1) กล่าวคือ โปรตอนในนิวเคลียสเปลี่ยนเป็นนิวตรอน โดยการปลดปล่อยโพซิตรอน ( positron = e⁺ = ₊₁e⁰   = b⁺ ) กับ neutrino (n )

p   ——————>     n         +     e⁺         +       n             +   Q

proton     ———>    neutron +   electron + neutrino     + energy

สมการทั่วไปที่แสดงการเปลี่ยนแปลงนิวเคลียส คือ

_ZP^A   —————–>   _{Z – 1}D^A    +   e⁺         +         n

ตัวอย่าง เช่น    ₆C¹¹ —————–à     ₅B¹¹     +   e⁺         +         n

neutrino มีสมบัติเหมือนกับ antineutrino ทุกประการ   ต่างกันเพียงฝ่ายหนึ่งเป็น “particle “ ส่วนอีกฝ่ายหนึ่งเป็น “ antiparticle “ ซึ่งถ้าหากมาชนกัยเมื่อไร ก็จะเกิดการ “ ระเบิด “ สลายตัวกลายเป็นพลังงานหมด เช่นเดียวกับอิเลคตรอนกับโพซิตรอน   อิเลคตรอนเป็น “particle “ ส่วนโพซิตรอนเป็น “ antiparticle “   ต่างกันที่ประจุฝ่ายหนึ่ง –   อีกฝ่ายหนึ่งเป็น + (ในกรณีของนิวตริโนและแอนตินิวตริโน ปรากฏว่าไม่มีประจุทั้งสองฝ่าย จึงไม่มีความแตกต่างในแง่ประจุ)   ถ้าอิเลคตรอนมาชนกับโพซิตรอนเมื่อไร จะเกิดปฏิกิริยา “ ระเบิด “ สลายตัวไปกลายเป็นพลังงานหมดตามสมการ

e⁺         +      e^–         —————>     2 g

proton         +     electron   ————–>   2 photon

( ใช้เครื่องหมาย γ   = gamma   แทนโฟตอน )

เรียกสมการนี้ว่า annihilation interaction

จะเเห็นว่านิวเคลียสที่เกิด β⁺   – decay มีจำนวนโปรตอนมากเกินไปหรือมีนิวตรอนน้อยเกินไป จึงไม่ stable  จำต้องเปลี่ยนส่วนเกินเพื่อให้เกิด stability มากขึ้น

ตามปกติพลังงานจลน์ของβ – particle น้อยกว่า ∝ – particle   แต่เนื่องจากมวลของอนุภาคนี้น้อยมาก จึงมีความเร็วสูงใกล้ความเร็วแสงและมีอำนาจทลุทลวงสูงกว่า ∝ – particle มาก   สามารถทะลุแผ่นตะกั่วหนา 1 มิลลิเมตร ได้ ดังนั้น การป้องกันอันตรายจากรังสีนี้จึงต้องกระทำให้รัดกุมกว่ากรณี ∝ – ray

Decay Law

สารกัมมันตภาพรังสีทุกชนิดจะสลายตัว (disintegrate or decay) โดยปลดปล่อยรังสีและกลายเป็นธาตุชนิดอื่น…ซึ่งมี 3 ชนิด คือ ∝ – ray , β- ray และ γ – ray การสลายตัวทั้งสามชนิดนี้ มีลักษณะร่วมกัน คือ

P ——————> D   +   radiation

เมื่อ  P = Parent nucleus

D   =     Daughter nucleus

P จะลดจำนวนลง และ D จะเพิ่มจำนวนมากขึ้นตลอดเวลา จากการทดลองพบว่าการสลายตัวนี้มีสภาวะเป็นไปตามหลัก “สถิติ”   เช่นเดียวกับการตายของคน ซึ่งมีหลักดังนี้ คือ

จำนวนคนตายใน 1 ปี (หรือ 1 หน่วยเวลา) เป็นปฏิภาคโดยตรงกับจำนวนที่มีอยู่ในปัจจุบัน   คือ ถ้ามีคนอยู่มากจะมีคนตายมาก มีน้อยก็ตายน้อย จำนวนคนตายขึ้นอยู่กับ ช่วงเวลา ที่กำหนดให้ ถ้าช่วงเวลานั้นยาวมากจะมีคนตายมากกว่าช่วงเวลาสั้น ๆ

อย่างไรก็ตาม ไม่มีผู้ใดสามารถบอกได้ว่าบุคคลใดจะตายเมื่อไรแน่ แต่อาจบอกได้ในแง่ของ ความน่าจะเป็น เช่น คนหนุ่มมีความน่าจะเป็นในการตายน้อยกว่าคนสูงอายุ เป็นต้น ความจริงข้อนี้ดูได้จากสถิติคนตาย

ในกรณีของนิวไคลด์ P เปรียบเสมือนพลเมืองในรุ่นหนึ่ง ซึ่งจะต้องหมดไป และเกิดรุ่นใหม่ D ขึ้นมาแทน     D ก็มีอัตราการเพิ่มทำนองเดียวกับการเพิ่มของพลเมือง

ถ้านำจำนวนนิวไคลด์กัมมันตภาพรังสี P มาศึกษาดู   ปรากฏว่าจำนวนของ P จะลดลง ดังรูป 7.8   ในขณะเดียวกันจำนวนของ daughter nucleus จะเพิ่มขึ้น

จากกราฟจะเห็นได้ชัดว่า T (หรือ T_1/2)     คือ   ช่วงเวลาที่สารกัมมันตภาพรังสีจะสลายตัวไปครึ่งหนึ่ง เรียกว่า half – life หรือ “ครึ่งชีวิต” ซึ่งมีสมบัติดังนี้

1.มีค่าต่างกัน ตั้งแต่น้อยมากขนาด 10^-14 วินาที ไปจนกระทั่ง 10¹⁵ ปี

2. ขึ้นอยู่กับชนิดของนิวไคลด์กัมมันตภาพรังสี
3. ขึ้นอยู่กับชนิดของการสลายตัว (types of decay )
4. ไม่ขึ้นอยู่กับสภาวะแวดล้อมใด ๆ เช่น อุณหภูมิ ความดัน
5. เป็นปริมาณที่ใช้วัด ความรวดเร็วของอัตราการสลายตัว สารใดที่สลายตัวรวดเร็วจะมีครึ่งชีวิตสั้นมาก

ถ้าเดิมมี parent radioactivity nuclides จำนวน N₀ เมื่อเวลา t = 0

ต่อมา              เมื่อ t = T_1/2   =   T   จำนวนนิวไคลด์จะสลายไปเหลือ N₀ / 2

t = 2 T             จำนวนนิวไคลด์จะสลายไปเหลือ N₀ / 4

t = 3 T             จำนวนนิวไคลด์จะสลายไปเหลือ N₀ / 8

…………..

ดังนั้น เมื่อเวลาใด ๆ t = nT จะมีเหลือ N   = N₀ / 2ⁿ